用Mathematica可以解不等式,或检验某些不等式的正确性,包括一些很复杂的不等式。下面就简单地介绍一下这方面的内容。
工具/原料
电脑
Mathematica
Reduce
1、 用Reduce可以解决一些简单的不等式问题。 分别求解下谱驸扌溺列关于x的不等式:x^3 > 5 x + 2,x^3 > x^2 + 3 x + 1,x^4 > x^3 + x^2 + x + 2。 注意,结果里面的“||”是“或”的意思。
2、 但大多数不等式是无法给出精确的根式解的。 分别求解下列关于x的不等式:x^3 > 5 x + 3,x^3 > x^2 + 3 x + 2,x^4 > x^3 + 旌忭檀挢x^2 + x + 6。 这些不等式全是用Root函数表示出来的。但是,这些不等式转化为方程,却都是可以求出根式解的,以x^3 = 5 x + 3为例,它有三个解。
3、 给出这些不等式的近似的数值解,还可以规定结果的精确度:
4、 用Reduce解不等式组,各个不等式要用“&&”连结。同时,有的不等式组可能无解。
5、 可以解多元不等式(组),要把变量用花括号包起来。 运行结果,用了两层逻辑符号,看看你能搞懂吗?转换成数值解呢?
Maximize和Minimize
1、 已知3 ≤ x·y^2 ≤ 8, 4 ≤ (x^2)/y ≤ 9,求(x^3)/(y^4)的最大值。 由运行结果可知,当x=3,y=1时,(x^3)/(y^4)有最大值27.
2、 已知3 ≤ x·y^2≤8, 4≤(x^2)/y≤9,求(x^3)/(y^4)的最小值。 发现,当取得最小值的时候,无法给出x和y的精确值,只能给出近似值。同时,也能发现(x^3)/(y^4)的取值范围是[2,27]。
3、 已知 - 5 < x < y < 1, -2 < z < 1, 求 (x + y) z^2 的取值范围。 这里分别要用到Maximize和Minimize。注意看,最大值和最小值能否取到?
检验不等式的正确性
1、 用Mathematica虽然难以给出不等式证明的具体步骤,但是她可以检验一些复杂的不等式的正确性。如下面图片里面这个问题。我曾经把这个问题在百度知道上面提出来过,得到网友xzcyr的解答。
2、 xzcyr给出的的代码是:Clear[a, b, c, x]挢旗扦渌;expr = #^x/(#2^x + #3^x) &锾攒揉敫amp; @@ RotateLeft[{a, b, c}, #] & /@ Range@3 // Total;Resolve[ForAll[{x, a, b, c}, x > 0 && a > 0 && b > 0 && c > 0, D[expr, x] >= 0]] 用导数恒≥0来判断函数处处不减。代码运行结果:True。真心感觉不可思议,这段代码的运行时间不到一秒,而运算次数大概是无限次。Mathematica是怎么做到的呢?