正方形的分割问题，是组合几何里面比较有难度的问题。这里面，有很多引人入胜的专题：比如完全正方形、正方形等积三角形分割、正方形分割再拼接、多个正方形分割后再拼接成一个大正方形等问题。
下面简单介绍一下相关内容。
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正方形分割成等积三角形
正方形能够分割成两个、四个、六个、……、2n个面积相等的三角形，这个过程称为正方形的等积三角形分割。
可以先把正方形沿对角线分成两个面积相等的三角形，再把每一个三角形等积分割为n份；还可以把正方形分割为n个全等的长方形，再沿对角线把每一个正方形分成两份；……；方法实在很多。
正方形不能分割成奇数个面积相等的三角形。这是一个很难的问题，但相比于完全正方形却又简单得多，至少可以人工证明。
1965年，Richman在《美国数学杂志》上提出猜想——正方形不能分割成奇数个面积相等的三角形。5年后，Paul Monsky证明了这个猜想，因此，相关理论又被称为Monsky理论。
正方形分割再拼接
把正方形分割成五份，再拼接成一个正三角形。其中一个方法是如下：
正方形边长AB=a， AP=r·a（r 等于四次根号3）；
PQ//EF交AD于Q；
BE//AP交直线DC于E；
BF⊥AP于F，且B是F、G的中点；
EF交BC于K；
在BE上取点M，使EM=PF；
连结线段GM，并取点N，使MN=PC；
NH⊥GM，交GE于H。
此时，可以证明，△EFG是正三角形，FK=EH，PQ=EK=HG。
事实上，分割成四块，就可以拼出一个正三角形，详见《三角形分割问题举例》。于是，在此基础上，把其中某一份分割成两份，整体上就是五份！
因此，把正方形分割成五份，再拼接成一个正三角形的分割方法是无限多的！
方法一：
这个方法，是由10世纪的阿拉伯数学家Abul Wefa解答的。他的方法是把其中两个正方形各分成四份，第三个正方形不用动！总共是分割成了9份。
具体的步骤不多介绍，如下面的动态图，一看就明白！
方法二：
在GF延长线上截取点D，使得GD=GB；
连结HD交BF于A；
在HG上截取N，使得HN=BA；
作NM//HD交GF于M；
作BE//HD交直线GF于E；
BK⊥HD于K，EZ⊥HD于Z；
三等分线段BE和KZ，产生三个小正方形；
EQ=GM。
可以发现，各部分只要平移就行。这个方法，把小三角形们分割为7份。
方法三：
把三个正方形排到一起，如下图进行分割；
把△ABC平移到△EFD的位置；
把△BEG平移到△CFH的位置，成功。
你数数原来的三个正方形被分割成了多少份！答案是6份，其中仍旧有一个小正方形没动过。
把两个全等的正方形改拼为一个正方形：
给定大正方形ABCD；
作出正方形ABCD各边中点E、F、G、H；
依次连结EF、FG、GH、HE，并取各边中点M、N、P、Q；
连结AM、BN、CP、DQ。
好了，现在能拼出两个正方形了。
五个全等的正方形，分割以后，拼成一个大正方形。
看下图：
给定大正方形ABCD；
作出各边中点E、F、G、H；
依次连结AF、BG、CH、DE；
这四条直线围成正方形 I J K L。
现在，你能拼成五个小正方形吗？
十个全等的正方形组成两个十字形，把一个分割成四份，拼接到另一个上面，组成一个大正方形。
这个问题曾经是中央电视台的一期中学生智力竞赛里面的题目，有趣的是，所有考生都没有做出这个问题，全军覆没！具体原因，大概是时间太紧迫，没有思考的空隙！
具体的步骤如动态图，看了就懂。
注意事项
关于正方形的等积三角形分割问题，只找到少许资料，而且采用了非常抽象的赋值函数进行研究，我目前还看不懂具体的证明过程。
关于正方形的改拼问题，一部分来自互联网，主要的另一部分来自一本书《世界著名平面几何经典著作钩沉几何作图专题卷》，这本书确实不错，是一部不同数学家成果的合集，值得收藏和阅读。
正方形不仅可以改拼成正三角形，而且可以改拼成2个、3个、4个、……、n个正三角形。在上面推荐的书里都可以看到。
正方形不仅可以改拼为正三角形、正五边形，还可以改拼成正六边形、平行四边形、梯形、任意三角形、任意四边形。
正方形可以改拼出任意多个全等的正方形，因为任意矩形、平行四边形都可以改拼成正方形。
我们需要思考的是：改拼的时候，怎么分割，才能使分割的份数最少？
能否用初等数学方法证明：正方形不可能分割为奇数个面积相等的三角形！