第02节命题及其关系、充分条件与必要条件
【课前小测摸底细】
1.命题“若，则”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）
A．0B．2C．3D．4
2.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
3.下面给出的命题中：
①已知函数，则；
②“”是“直线与直线相互垂直”的必要不充分条件；[来源:Z。xx。k.Com]
③已知随机变量服从正态分布，且，则；
④已知，则这两圆恰有条公切线．
其中真命题的个数是（）
A．B．C．D．
4.【基础经典试题】有下列四个命题（1）若“，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则”的逆否命题。其中假命题为（）
A、（1）（2）B、（2）（3）C、（4）D、（1）（3）
5.已知条件p:，条件q:,且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点深度剖析】
高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值范围．
【经典例题精析】
考点1四种命题的关系及真假判断
【1-1】给出命题：已知实数满足，则,它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）
A. 0B.1C.2D. 3
【1-2】命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（）
A．若是偶数，则与不都是偶数
B．若是偶数，则与都不是偶数
C．若不是偶数，则与不都是偶数[来源:学_科_网Z_X_X_K]
D．若不是偶数，则与都不是偶数
【1-3】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①“若，则函数在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若，则”与命题“若，则”等价．
【课本回眸】
一．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
二．四种命题及其关系
1．四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若，则
逆否命题
若，则
即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；[来源:Zxxk.Com]
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
【方法规律技巧】
1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：
（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；
（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；
（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。
2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
3.判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
4.否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
【新题变式探究】
【变式一】命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
【变式二】下列命题中为真命题的是()
A．命题“若，则”的逆命题
B．命题“，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则”的否命题
D．命题“若，则”的逆否命题
考点2充分必要条件的判定
【2-1】设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【2-2】直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【2-3】设为向量。则是的（）
A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也必要条件
【2-4】中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【课本回眸】
１．一般地，如果已知pÞq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
可分为四类：（1）充分不必要条件，即pÞq,而qp；(2)必要不充分条件，即pq,而qÞp；(3)既充分又必要条件，即pÞq，又有qÞp；(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp。
２．一般地，如果既有pÞq，又有qÞp，就记作：pq.“”叫做等价符号。pq表示pÞq且qÞp。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
【方法规律技巧】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若，则是的充分而不必要条件；若，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件；若，则是的既不充分也不必要条件。
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【新题变式探究】
【变式一】设A，B为两个互不相同的集合，命题p：x∈A∩B，命题q：x∈A或x∈B，则┑q是┑p的()
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【变式二】以q为公比的等比数列{}中，，则“”是“”的（）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点3充分条件与必要条件的应用
【3-1】给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的
A.充分不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件[来源:学#科#网]
【3-2】条件：,条件：,若是的充分而不必要条件,则的取值范围是()
A.B.C.D.
【3-3】函数，有且只有一个零点的充分不必要条件是()
A．B．C.D．或
【课本回眸】
充分不必要条件，即pÞq,而qp；(2)必要不充分条件，即pq,而qÞp；(3)既充分又必要条件，即pÞq，又有qÞp；(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp。
【方法规律技巧】
１．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
２．对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）。
【新题变式探究】
【变式一】设命题p：2x2－3x＋1≤0；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若┑p是┑q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
【变式二】若f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是()
A．(－∞，－1]B．(－1，＋∞)
C．[3，＋∞)D．(3，＋∞)
三、易错试题常警惕
易错典例：已知不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是____________．
易错分析，(1)“”是“”的充分条件，但不是必要条件，学生容易看成必要条件；(2)从集合的角度看，若设，，则，学生容易看成.
温馨提醒：利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容，解答此类问题的关键是从正反两方面考虑，紧扣充分条件、必要条件的定义，若有大前提，在进行正反两方面推理时，大前提都要参与推理，是推理的条件．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
四、学科素养提升之数学思想篇
转化与化归思想
转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。转化与化归思想在本节中的应用主要是:(1)判断命题真假:原命题和其逆否命题同真同假,原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等
【典例】已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为________．