1、通过二次函数图像法、均值不等式法和函数导数法,介绍已知当0<x<1时,求函数y=x(1-x)的最大值的主要步骤。
2、因为y=x(1-x),所以y=x-垓矗梅吒x^2=-x^2+x,其对称轴x=b/2a=-1/2*(-1)=1/2∈(0,1),该二次函数的开口向下,所以在醑穿哩侬对称轴处取得最大值,则:ymax=f(1/2)=(1/2)*(1-1/2)=1/4.
3、由不等式ab≤(a+b)^2,a,b∈R+知:y=x(1-x)≤{[x+(1-x)]/2}^2=( 1/2)^2=1/4.
4、计算函数的一阶导数,判断函数的单调性,进而求出函数的最大值。
5、∵y=x(1-x),∴y=x-x^2,对x求珑廛躬儆导有:dy/dx=1-2x,令dy/dx=0,则:1-2x=0,此时x=1/2,且有:(1) 当x∈(0,1/2)时,dy/dx>0,函数为增函数;(2) 当x∈[1/2,1)时,dy/dx≤0,函数为减函数。则当x= 1/2时,y取最大值,此时ymax=1/4。