1、 圆柱螺旋的参数方程是：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}ParametricPlot3D[r[t],{t,0,6*Pi}]
2、 圆柱螺旋是正则曲线，因为r'[t]≠0。r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}r'[t]r'[t].r'[t]//FullSimplify
3、 求圆柱螺旋r[t]在t=π/3时的切线方程：r[t_]:={觊皱筠桡Cos[t],Sin[t],t/6}p={x,y,z};p-r[t]=租涫疼迟=a r'[t] 消去参数a，就得到螺旋线的切线方程：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}p={x,y,z};Eliminate[p-r[t]-a r'[t]==0,a] 再用Rule指定t->π/3就行了。
4、 求r[t]的法平面的方程：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}p={x,y,z}; 因为法平面和切向量垂直，所以(p-r[t]).(r'[t])==0 这就是法平面方程。
5、 求螺旋线在｛t,0,t｝之间的弧长：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}Integrate[Sqrt[r'[t].r'[t]],{t,0,t}] Mathematica有一个专门求曲线的弧长的函数：ArcLength[r[t],{t,0,t}]
6、 如果把正则曲线的弧长记为s，有：s=s[t] 求出s和t的反函数：t=t[s]，就得到了曲线的自收墩芬蓥然参数方程：r[s_]:=(r[t])/.t->6*s/Sqrt[37]r[s]//Simplify//TraditionalForm 此时，自然参数方程是：r[s_]:={Cos[6 s/Sqrt[37]],Sin[6 s/Sqrt[37]],s/Sqrt[37]}
7、 在自然参数下，r[s]的微商的模长是1。r[s_]:={Cos[6 s/Sqrt[37]],Sin[6 s/Sqrt[37]],s/Sqrt[37]}r[s]r'[s]r'[s].r'[s]r'[s].r'[s]//Simplify
