1、 函数y=3x^5+x+3为幂函数的四则运算，可知函数的自变量可以取全体实数，即定义域可以为：(-∞，+∞)。
2、 函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间呼鳏魇杰上具有单调性。 本题函数y=3x^5+x+3的单调性，求出函数的一阶导数，通过函数的一阶导数，判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。y‘=3*5x^4+1=15x^4+1,可知，函数在定义域上为增函数。
3、 举例求解点A（-1,-1）处的切线，主要步骤如下：此时y'=15+1=16，由直线的点斜式可求出点A处的切线方程为：y+1=16(x+1).
4、 函数y=3x^5+x+3的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹性。
5、 如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。
6、 由函数y=3x^5+x+3性质，解析函数的极限，判断函数在无穷大处的极限。函数在无穷大处的极限为无穷大大，在x=0处时，y=3。
7、 函数y=3x^5+x+3五点图，由函数表达式，解析函数部分点如下：例如x=0时，y=3；x=1时，y=3*1+1+3=7；x=-1时，y=-3*1-1+3=-1.
8、 根据函数y=3x^5+x+3的定义域、值域、极限等性质，并通过函数的导数判断函数的单调性、凸凹性，综合解析函数的示意图如下：
9、 导数，是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因筐毙险裆变量的增量与自变量的增量之商的极限。一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
10、 若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则翱务校肢复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。复合函剞麽苍足数的单调性具有规律，即"增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减"，可以简化为"同增异减"。
