高等数学入门——带皮亚诺余项的泰勒公式

时间:2024-10-13 06:51:08

1、概述。 泰勒公式是初学高等数学时不易掌握的内容之一,但这部分内容又很重要,本节我们从最基础的内容讲起,看看形式复杂的泰勒公式是怎样一步步推导出来的。

2、一稍僚敉视个实际问题:如何求一般函数的值? 三角函数是我们自高中起就比较熟悉的一类函数,我们熟悉三角函数的各种性质和公式,但除一些特殊角(例如π,π/2,π/6等)外,我们完全不知道一般姹州比蹼角度的sin或cos值是如何能“简便地”计算出来。当然需要时我们可以按计算器或查表得到三角函数值,但这些数据是如何得来的呢?(表格需要人来编写,计算器的计算程序需要人来设计。) 另一个例子是对数函数lnx,由微分及等价无穷小等知识,我们知道当|x|很小时,有ln(1+x)≈x,这就把对数运算转化为计算多项式函数的值,后者显然容易得多。我们希望有一种系统的方法,能将各种复杂函数转化为多项式函数,并估计它们之间的误差。

3、引入泰勒公式的理论意义。

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4、导出泰勒公式的思路概述。

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5、泰勒公式的推导过程。

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6、泰勒中值定理(带皮亚诺余项的形式)。

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7、对上述定理的一些说明。

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8、附录:泰勒中值定理1的证明。

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