我在《用Mathematica演示圆的各种摆线——内摆线》里面介绍了用Mathematica模拟内摆线的过程，并把摆线归类为内摆线的一种。同样地，眺螗熨膣本文介绍用Mathematica模拟外摆线的过程，并把渐开线归类为外摆线的一种。 为了防止“土地公”剽窃，特意在动态图前面加了各种封面。这样，如果他们盗取的动态图变成静态图，那么就没有什么意义了！把代码放到动态图后面，那么获取代码的方法是把动态图导入到Mathematica里，查看后面几帧。 具体的方法，请参考：《用Mathematica修改图片大小》和《怎么用Mathematica修改gif图片的尺寸》。再用Mathematica提取图片中的文字。
工具/原料
电脑
Mathematica
渐开线
1、 为什么说圆的渐开线是一种外摆线呢？这是因为直线（半径无限大的癣嗡赧箬圆）只能在其它圆的外面滚动，把直线和圆相切的蔌阪栉酽初始位置的切点视为“被追踪点”，那么“被追踪点”的轨迹就是圆的渐开线（特殊的外摆线）。 设圆半径为1，时间参数为t，那么圆的渐开线方程为： x = cost + tsint, y = sint - tcost；在时间t，直线和圆的切点坐标是（cost,sint），"被追踪点"的位置坐标是（cost+tsint,sint-tcost）。
2、 现在来画单位圆和渐开线，单位圆的画法很多：Parametri罕铞泱殳cPlot[{Sin[x], Cos[旌忭檀挢x]}, {x, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> {Thick, Blue}];Graphics[{Thick, Blue, Circle[{0, 0}, 1]}];PolarPlot[1, {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> {Thick, Blue}];ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, ContourStyle -> {Thick, Blue}]; 渐开线的绘图：ParametricPlot[{Cos[t] + t Sin[t], Sin[t] - t Cos[t]}, {t, 0, 6 Pi},PlotStyle -> {Thick, Blue}] 这里使用ParametricPlot的好处是，它能够自动调整绘图区域。
3、 把单位圆和渐开线画在一起，可以用Show，但这里推荐另一个命筠沭鱿漆令函数Graphics，因为它会自动忽略坐标轴。 先把图形转换成数据，运行下面的代码：单位圆 = P锾攒揉敫arametricPlot[{Sin[x], Cos[x]}, {x, 0, 2 Pi},PlotStyle -> {Thick, Red}][[1]];渐开线 = ParametricPlot[{Cos[t] + t Sin[t], Sin[t] - t Cos[t]}, {t, 0,6 Pi}, PlotStyle -> {Thick, Blue｝][[1]]; 再用Graphics统一绘图：Graphics[{单位圆, 渐开线｝]
4、 互动，代码见下面的动态图： 代码里面的a，可以手动赋值； 渐开线一开始是蓝色，然后被渐渐覆盖上红色； 为了防止“土地公”剽窃，特意在动态图前面加了个封面。这样，如果他们盗取的动态图变成静态图，那么就没有什么意义了！获取代码的方法是把动态图导入到Mathematica里，然后查看后面几帧，具体步骤请看《用Mathematica提取图片中的文字》。
5、 我们把a赋值为36，用colorfunction加上色彩，改变线的粗细度，看看是什么情形！ 有点像是雷达扫描图像，由近及远； 由于图形尺寸小，所以看起来有点密集； 这个图形，看着像是Archimedean螺线，那么二者是否是同一个东西呢？
外摆线
1、 圆A在圆B的外部滚动，那么圆A上的任意定点的轨迹是外摆线，这个点就视作“被追踪点”。同“内摆线”类似，这里仍旧设定圆B为红色、半径为R，圆A为蓝色、半径为丨r丨，但是r的值取负数，且绘制圆A的代码里面的半径改为-r（或Abs[r]）：Circle[{(-r + R) Cos[t/R], (-r + R) Sin[t/R]}, -r] 代码在动态图里面！
2、 把不同的情形，各导出个动态图： 图一里面R = 1， r = -1; 图二里面R = 2， r = -1; 图三里面R = 1 ，r = -2。 其余的，大家可以自己尝试。要注意参数的范围！代码在动态图后面的后面！
外摆线的拓广
1、 如果“被追踪点”位于圆A的内部或外部，那么它在时间t的位置坐标需要重新下定义，同时还要引进一个参数d（“被追踪点”到圆A的圆心的距离）：pt[t_, r_, d_] :=lctr[t, r] + RotationMatrix[2 Pi - t/r].{d r Cos[t/R], d r Sin[t/R]} 其中，d>0且d≠1。 代码在动态图里面，注意代码里的Abs[r]。
2、 始终赋值R=3，当d=2/3、r=-1、参数t变化时，动态图如下面图一；当d=3/2、r=-1、参数t变化时，动态图如下面图二；当t=6π，r=-1、参数d变化时，动态图如图三； 特别注意：当t=12π，d=3/2，r从2减为-2的动态图，当r>0时，“外摆线”变成了“内摆线”，当r=0时，代码不能运行。
